初中概率及其教学

肖果能

（中南大学铁道学院     湖南   410004）

肖果能，男，1941年生，湖南长沙人.中南大学教授，中国数学奥林匹克高级教练员，湖南省科普工作先进个人.《义务教育课程标准实验教科书·数学》（湖南教育出版社）编委.1963年毕业于湖南师范学院数学系，1981年于长沙铁道学院应用数学专业研究生毕业，并获理学硕士学位.1991～1992年由国家教委下派以高级访问学者身份赴前苏联乌克兰国立基辅大学访问，1995～1996年应美国格林威治大学邀请从事合作研究.

与传统教材相比较，《全日制义务教育数学课程标准》大大地加强了统计与概率的内容与教学要求.这是因为在当今时代和现代社会中，统计和概率起着越来越重要的作用，掌握统计与概率的思想方法和基本知识成为现代社会公民必需具备的素养.如何学好和教好统计与概率是广大教师所面临的一项新的挑战.在学习新课程的基础上，本文将对初中阶段概率部分的教学要求和教学方法作些探讨.

一、概率论——研究随机现象的数学

自然界和人类气象万千，异彩纷呈的自然现象和社会现象有两种基本的类型：确定性现象与随机现象.在一定条件下必然发生或必然不发生的现象称为确定性现象：太阳从东方升起，水从高处流往低处，物体热胀冷缩，在力的作用下运动的物体产生加速度，…，都是确定性现象.在一定的条件下可能发生，也可能不发生的现象称为随机现象：明天是否下雨，火车是否能正点到达，彩票能否中奖，股票是涨是跌，…，都是随机现象.

对于确定性现象，人们关心的是现象发生的条件；对于随机现象，人们关心的是现象发生的可能性.

研究随机现象的基本方法是随机试验.每个随机现象都联系着一个随机试验，随机试验的结果是不确定的，每种可能的结果称为随机事件.

随机试验满足下面的三个要求：

1.试验的基本结果是明确的.一次试验可能出现哪些基本结果是事先可以明确的，所谓基本结果是指这样的一些结果，在一次试验中，必定出现其中的一个，并且只出现一个，即在一次试验中两个不同的基本结果不能同时发生.

2.试验结果的不确定性.一次试验出现什么结果，在试验之前无法预言，即一次试验的结果是不确定的.

3.实验的可重复性.试验可以重复地进行，即试验的条件可以重复实现.

在一次试验中，一个随机事件要么发生，要么不发生，无规律可言.但在大量试验中，随机事件的性质就能呈现出来.例如，一个随机事件如果在大量试验中频繁地发生，则有理由认为它在一次试验中发生的可能性大，反之则可能性较小.这种在大量试验中表现出来的规律性，称为随机现象的统计规律.概率论就是研究随机现象统计规律的数学分支.

二、概率——随机事件发生的可能性大小的数量表征

在实践中人们发现，随机事件发生的可能性大小是可以比较的，这在人们的日常语言中已经有所反映，常说的“必定”“很可能”“有可能”“几乎不可能”，…，说的就是可能性的不同程度.

例1.在下面的随机试验中，比较事件 、 发生的可能性的大小.

1.将硬币的一面涂上红色，一面涂上蓝色，连投两次.

A. 两次出现红色       B. 两次出现颜色相同

2.掷两枚骰子，考察朝上的两面的点数之和.

A. 朝上两面点数之和为4        B. 朝上两面点数之和为7

既然随机事件发生的可能性有大有小，数学作为精确科学应该定量地刻划随机事件发生的可能性大小，这种数量刻划就是概率.

随机事件的概率是区间[0，1]中的一数，随机事件发生的可能性大时，其概率就大；反之，概率就小.我们称在一定条件下必然发生的事件为必然事件，必不发生的事件为不可能事件.必然事件和不可能事件都不是随机事件，但它们可视为随机事件的两个极端情形，所以规定不可能事件的概率为0，而必然事件的概率为1.

应该指出：概率作为随机事件发生的可能性大小的数量表征，是随机事件自身的固有的属性，它不依赖于人的主观认识，而是在大量试验中表现出来。

三、频率与概率的估计

如果我们重复地做同一随机试验 次，则在这 次试验中随机事件 出现的次数 称为在这 次试验中事件A的频数，而称 为在这 次试验中事件 的频率.

在某 次试验中，事件 频繁发生，则有理由认为 发生的可能性大.这时 发生的频数大，频率也大，故频率在一定程度上反映了随机事件发生的可能性的大小.这说明频率与概率有联系，这是一方面.另一方面，频率与概率又有着本质的区别，不能把两者混为一谈，更不能认为频率就是概率.因为频率依赖于试验：不但依赖于试验的次数，而且依赖于具体的 次试验，在不同的 次试验中，同一事件 发生的频数和频率一般不会完全相同，而概率是客观的，它是随机事件自身的固有属性，不依赖于具体的试验而存在.

概率与频率的本质联系深刻地反映在所谓“频率稳定性”上，概率论中的“大数定律”已经严格地证明：在大量重复的试验中，随着试验次数的无限增加，在大多数情况下，随机事件的频率稳定在其概率的附近而上下摆动.频率稳定性使我们可以用大量试验中随机事件的频率作为这个事件的概率的估计值.在大多数情况下，这样做是合理的，但并不能排除在少数情况下频率和概率之间有较大的差别，因此不能保证用频率估计概率时每次都能得到很好的估计值.尽管这样，教材中还是把用频率估计概率作为估计概率的一种重要的方法.这正如尽管媒体中常有关于空难的报导而人们还是选择坐飞机作为一种方便的旅行方式.

四、等可能性与概率的计算

用频率估计概率是通过考察试验结果来获得随机事件的概率的估计值，教材中要讲授的计算事件概率的一种方法（列举法）是分析原因，即分析导致事件发生的可能情况的确定事件的概率.这种方法本质上基于随机试验应具备下面的两个特性：

1.有限性：随机试验上有有限个可能的基本结果；

2.等可能性：各基本结果发生的可能性的大小相同.

这两个性质是用列举法计算概率的基础：有限性使我们可以将随机试验的基本结果一一列举出来，从而确定基本结果的总数；等可能性使我们可以认为如果导致一个随机事件发生的基本结果（即随机事件所包含的基本结果）越多，则这个事件发生的可能性即概率就越大.

在很多情况下，等可能性成立是因为基本结果的对称性：各基本结果都处于相同的地位，它们是平等的，因而没有理由认为哪一些基本结果发生的可能性更大.例如，投一枚质地均匀的硬币，由于均匀性，正、反面出现的可能性相同；掷一颗质地均匀的骰子，六个面中每个面朝上也是相等的；在袋中质地、大小都相同的一些球中任意地摸取一个，每个球被摸中的可能性相同，等等.

当有限性和等可能性成立时，如果一个随机试验有 个等可能性的基本结果，则每个基本结果发生的概率为 ；如果有 个基本结果可以导致事件 发生，则事件 的概率为 .

五、用列举法求事件的概率

由上款所述，在等可能性的情形下，计算事件概率的步骤为：

⑴列举试验的基本结果的总数目 ；

⑵列举事件 所含的基本结果的数目 ；

⑶计算概率： .

要准确地列举基本结果的总数目，必须做到既不重复，亦无遗漏.在 不太大的情形下，有列表法和树形图法两种方法，今举例说明这两种方法发具体应用.

例2.掷两颗骰子，考察朝上的两面的点数，通过列表，可知有36种等可能性的基本结果.

例3.投三枚硬币，考察各硬币出现“正”“反”面的情况，通过画树形图，可知有8种等可能性的基本结果.

六、用列举法计算概率的几类典型问题

1.投币问题

例4.投三枚均匀硬币（参看例3），求下列概率：

A：正面恰好出现一个；

B：正面至少出现一个；

C：正面的个数多于反面.

解：略.

2.掷骰问题

例2. 掷两颗均匀骰子，求下列概率：

A：朝上两面点数之和不超过4；

B：朝上两面点数之和为偶数；

C：朝上两面的点数同奇偶性；

D：朝上两面的点数互质.

解：略.

3.摸球问题

袋中装有一些球，球的大小、质地完全相同但染成不同颜色，随意地从袋中摸球，则每个球被摸中的可能性相同，一次可以摸一个球，也可以同时摸多个球，可以摸一次，也可以摸多次.若摸多次，则还有“放回”（即在下次摸球之前将这次摸得的球放回袋中）和“不放回”（即摸出的球不重新放入袋中）两种方式.

例3. 袋中有5个球：3红2白，把袋中的球搅乱以后从中随意摸出一球，把剩下的球有搅乱再随意摸出一球，求下列事件的概率：

A：两次都摸得红球；

B：两次摸得的球颜色相同；

C：两次摸得的球颜色不同.

解：略.

例4. 袋中有5个球：3红2白，把袋中的球搅乱以后从中随意摸取一球，然后把摸取的球又放回袋中，搅乱以后再随意摸取一球，在这种情形下，求上例中的事件A、B、C的概率.

取数问题与摸球问题类似，只是将球换成一些相同的卡片，每张卡片上写一个数，然后任意地取出卡片，每张卡片被取中是等可能的.

例5.盒中装有100张卡片，卡片上的数从1到100，每张卡片上恰写一数，从中任取一张卡片，求下列事件的概率：

A：取出卡片上的数是质数；

B：取出卡片上的数是17的倍数。

例6.盒中有5张卡片，写有1、2、3、4、5等数字，每张卡片上写一个数字，从中随意地依次取出两张（第一次取出的卡片不放回），求下列事件的概率：

A：第一次取得的数比第二次的大；

B：取出的两数之和是3的倍数.

七、澄清一些错误认识

现行的一些教材和教辅读物上常有一些不妥甚至错误的说法，今择要予以分析和纠正.

1.把概率和概率的估计值混为一谈.利用频率估计概率，得到的是概率的估计值，而不是概率本身.有些书上给出频数分布表后，要求概率，实际上能求的只是概率的估计值.我们说过，概率是随机事件的内在本质属性，而频率则依赖于具体的试验，两者有着质的区别，不能混为一谈，不能把频率当作概率.

2.认为当试验次数趋于无穷时，频率与概率必然很接近.这种看法也是不正确的，只能说随着试验次数的无限增加，在大多数情况下，频率和概率很接近（即在大多数情况下，两者之间的误差可以控制在指定的范围内），但无论试验的次数怎样的多，都还是有少数情形，频率与概率并不很接近，所以是哪样的一系列具体的重复试验，我们都没有绝对的把握认为得到频率与客观存在的概率都近似的.

3.认为“概率为0的事件一定不会发生，而概率为1的事件必然发生，因而随机事件的概率必在区间（0，1）中，即必大于0而小于1”.这种看法也是错误的.我们规定，不可能事件概率为0，而必然事件的概率为1，并不等于说概率为0的事件就是不可能事件，而概率为1的事件就是必然事件.例如，用笔尖在一个正方形内部的任意位置随意点上一点，正方形中有无穷多个点，笔尖落在每一点都是等可能的，所以对于正方形中的每个点，笔尖落在这点的概率都为0，但每次试验，笔尖总点在正方形内的一个点上，这与笔尖落在这点的概率为0并不矛盾：概率为0，不见得事件就一定不可能发生，只是说明在一次试验中这个事件发生是非常偶然，几乎不可能的.又如灯泡的寿命用一个实数来表示，灯泡的寿命取某个具体的实数值的概率都为0，但每个灯泡的寿命都可用一个具体的来实数表示，两者并无矛盾.因此，随机事件的概率是闭区间[0，1]中的一个数.

4.要区别随机试验的结果与基本结果.在用列举法计算概率时，要列举随机试验的所有基本结果以确定基本结果的数目.一组随机事件可以作为一个随机试验的基本结果，必须满足三个要求：

⑴完备性：每次试验必出现一个基本结果；

⑵互斥性：每次试验只出现一个基本结果（即不同的两个基本结果不能同时出现）；

⑶等可能性：所有基本结果出现的可能性都相同.

前面各例中我们列举的基本结果都符合这三个要求.有人认为，掷两枚硬币只有3个基本结果：“两正”“两反”“一正一反”.确实，这三个结果满足完备性和互斥性，但它们不满足等可能性.因为“两正”“两反”都在一种情形下发生，但“第一枚正、第二枚反”及“第一枚反、第二枚正”都导致“一正一反”发生，故其概率大于“两正”出现的概率，也大于“两反”出现的概率，故这些人的看法是错误的.

随机试验的一般结果称为随机事件，每个随机事件包含若干个基本结果.它用这些基本结果来表示，其中每个基本结果出现都导致这个随机事件发生，例如掷一颗骰子“出现偶数点”是一个随机事件，它包含“出现2点”“出现4点”“出现6点”.无论出现2点、4点或6点，都是“出现偶数点”，都导致“出现偶数点”这一事件发生.

从这些分析可知，对概率论的概念的理解一定要准确，否则很容易对学生产生误导.

八、初中概率教学的基本要求与原则

综上所述，可以归结初中阶段概率教学的基本要求.

1.理解随机事件中与概率的概念.在一次试验中随机事件可能发生，也可能不发生；随机事件发生的可能性大小是可以比较的；随机事件发生的可能性的大小是随机事件自身固有的属性；概率是衡量随机事件发生的可能性大小的尺度.

2.理解概率与频率的关系.频率在一定程度上反映了随机事件发生的可能性；频率依赖于具体的试验，它与概率有着本质的区别；频率稳定值说明，在大多数情况下，以大量试验中随机事件发生的频率作为其概率的估计值是合理的.

3.理解等可能性及其在概率计算中的作用，会以列表和画数形图为工具列举随机试验的所有基本结果及随机事件所包含的基本结果，会用列举法在等可能情形下计算随机事件的概率.

4.联系实际问题，掌握等可能情形下几类典型的较简单的问题的概率计算.

由于初中学生的知识水平和理解能力，不可能（也无必要）用数学的形式化的方法讲解概率知识，建立概念和理论.初中阶段概率教学的基本原则是：从学生熟悉的生活实例出发，创设情境，提出问题共同探究，在具体情境中体验概率的意义，通过实例掌握概率的计算，并且联系实际问题，在实践中不断地加深理解.

教师应当熟悉教材，分析和研究教材，把握精神实质，联系实际，将这些教学要求和教学原则贯彻到教学过程的实践中去.

（此文发表于《湖南教育·数学教师》第3期）